В 1962 г. окончил историко-филологический факультет Батумского государственного педагогического института им. Шота Руставели, получив специальность «преподаватель русского и английского языков», в 1984 г. — факультет планирования народного хозяйства Тбилисского государственного университета по специальности «экономист».
В 1962–1963 гг. работал педагогом в Батумском музыкальном училище, параллельно занимаясь комсомольской работой.
В 1962 г. Аслан Абашидзе был судим Верховным судом Аджарской АССР за незаконное приобретение и ношение огнестрельного оружия и «злостное хулиганство», выразившееся в нанесение гражданам Кахидзе и Дзнеладзе ранений из автоматического оружия. Осужден на 2 года лишения свободы, затем приговор заменили на аналогичный срок условного наказания (следует отметить, что в советский период подобные правонарушения, как правило, карались минимум 15 годами лишения свободы). Вскоре после снятия судимости Аслан Абашидзе становится членом Компартии и назначается директором профессионально-технического училища № 44 (позднее № 105), работая на этой должности до 1980 г.
В 1981 г. Аслан Абашидзе становится заместителем председателя исполнительного комитета Совета народных депутатов города Батуми.
В 1984–1986 гг. — министр бытового обслуживания Аджарской АССР, а затем — первый заместитель министра бытового обслуживания Грузинской ССР. В 1989 г. А. Абашидзе на базе министерства создал концерн бытового обслуживания населения и стал его президентом.
В 1991 г. Аслан Абашидзе занимает пост председателя Верховного Совета Аджарской Автономной Республики Его политические оппоненты заявляют о грубых нарушениях законодательства. Согласно распространенной в Грузии версии, на этот пост А. Абашидзе был выдвинут первым президентом Грузии 3. Гамсахурдиа, на решение которого повлияло происхождение Абашидзе.
После прихода Абашидзе к власти в Аджарии вопрос автономного статуса региона стал причиной порчи отношений между Асланом Абашидзе и Звиадом Гамсахурдиа. В Батуми последовали митинги сторонников Абашидзе с участием мулл, а вопросу упразднения автономии был придан характер антимусульманской кампании. Эти процессы увенчались смертью лидера аджарского отделения звиадистского «Круглого стола», заместителя председателя Верховного Совета Аджарии, бывшего советского диссидента и политзаключенного Нодара Имнадзе. Согласно распространенной в Грузии версии, Имнадзе застрелил лично Абашидзе в своем кабинете во время ссоры и последовавшей за ней перестрелки ночью 30 апреля 1991 г.
В 1991–1992 гг., во время свержения Звиада Гамсахурдиа и последующей в Грузии гражданской войны между звиадистами и осуществившим переворот Государственным советом, аджарское руководство во главе с Асланом Абашидзе заняло нейтральную позицию. В то же время остались свидетельства одного из лидеров Госсовета Джабы Иоселиани о том, что Абашидзе снабжал возглавляемую им военизированную организацию «Мхедриони» («Всадники») оружием и боеприпасами.
28 сентября 1991 г. А. Абашидзе постановлением Совета министров Аджарии фактически аннулировал зависимость экономических структур автономии от Тбилиси.
После прибытия из Москвы бывшего главы МИД СССР Эдуарда Шеварднадзе, который возглавил Госсовет, Аслан Абашидзе декларирует его поддержку, и в октябре 1992 г. они вместе принимают участие в выборах в блоке «Мшвидоба» («Мир»), который становится в Грузии парламентским большинством и в 1992–1995 гг. поддерживает все решения Шеварднадзе.
В 1990–1995 гг. А. Абашидзе одновременно являлся заместителем председателя парламента Грузии.
7 октября 1991 г. Абашидзе, по собственной инициативе и, не консультируясь с Тбилиси, провел переговоры с лидером абхазских сепаратистов Владиславом Ардзинбой. Переговоры с Ардзинбой имели своим результатом освобождение грузинских военнопленных, захваченных абхазами.
В 1991 г. Аслан Абашидзе основал политическую партию «Всегрузинский союз возрождения», которая в выборах парламента Грузии 1992 и 1995 гг. добилась большого успеха и создала сильную парламентскую фракцию. В декабре 1997 г. на IV съезде Всегрузинского союза возрождения было принято решение о его переименовании в Союз демократического возрождения Грузии.
10 июля 1999 г. в Батуми пять грузинских партий (Союз демократического возрождения, Народная партия, Союз грузинских традиционалистов, блок «XXI век» и Социалистическая партия Грузии) подписали Декларацию об основании политического альянса. Батумский политический альянс принял участие в парламентских выборах 1999 г. в виде избирательного блока «Возрождение Грузии». Лидером блока был избран Аслан Абашидзе. На выборах 31 октября 1999 г. блок набрал 25,65 % голосов.
В конце 1990-х годов Абашидзе выступал против проведения учений НАТО в Аджарии, одновременно предоставляя максимально льготный режим дислоцированной около Батуми российской военной базе № 12
Во время событий в Грузии в ноябре 2003 г. Аслан Абашидзе выступает с поддержкой правительства Шеварднадзе. Он организовывает приезд в Тбилиси 2–3 тыс. аджарцев для участия в продлившемся несколько дней митинге, который должен был стать альтернативой массовым выступлениям по всей стране сторонников протестовавшей против тотальной фальсификации парламентских выборов оппозиции.
После отставки президента Шеварднадзе и приходу к власти Саакашвили в Аджарии указом Аслана Абашидзе было введено чрезвычайное положение, и начался этап вялотекущей конфронтации с новым правительством Грузии. Однако 25 января 2004 г Абашидзе пышно принял в Батуми посетившего аджарскую столицу в рамках программы своей инаугурации нового президента Грузии Михаила Саакашвили.
Независимая пресса, даже критически настроенная по отношению к Абашидзе, не отрицала его достижений в управлении Абхазией. «Политический режим, созданный Асланом Абашидзе в Аджарии, образцово показателен. В Батуми никто не скрывает, что Бабу (“Дед” — так принято за глаза называть председателя Верховного совета автономии) единолично контролирует всю власть. При этом население автономии реально молится на Аслана Ибраимовича. Основная причина: недопущение в 1991–1992 годах на территорию автономии тогдашней национальной гвардии Грузии. Их не пустили физически, встретив танки гвардейцев на границе Аджарии. Оставшись в стороне от войны, Аджария стала единственным в Грузии очагом стабильности и экономического спокойствия. Уровень жизни населения все эти годы был несравнимо выше, чем во всей остальной стране. По ряду показателей — просто на порядки выше.
Основными источниками дохода были и остаются морской порт и контрольно- пропускной пункт Сарпи на шоссе, ведущем в Турцию.
Подавляющее большинство железнодорожных грузов (по нефтепродуктам — почти 100 %), идущих в Армению, проходит через батумский нефтеналивной терминал. В свое время Абашидзе вел упорную борьбу с Шеварднадзе за постройку нового нефтеналивного терминала для каспийской нефти именно на базе батумского порта. Шеварднадзе победил, и строить начали в Гурии — на его исторической родине. Манера поведения Аслана Ибраимовича поистине царская. Наследственный правитель Аджарии (его дед Мемет-бей Абашидзе был вали (губернатором) еще турецкого вилайета (провинции) Аджария), Бабу соответственно и ведет себя. На набережной Батуми построен огромный памятник Мемету Абашидзе, его же имя носит и современный паром, который ходит до Трабзона, не говоря уже об улицах и парках.