Точка зрения Пуанкаре о фазовом пространстве оказалась настолько полезной, что сегодня ее можно обнаружить в любой области науки – и не науки тоже. Больше всего фазовых пространств приходится на экономику. Допустим, национальная экономика охватывает миллионы различных товаров, включающих сыры, велосипеды, крыс на палочке и так далее. У каждого из них есть своя цена: скажем, кусок сыра стоит 2,35 фунта, велосипед – 499,99, крыса на палочке – 15. То есть состояние экономики представляет собой список из миллиона чисел. Фазовое пространство состоит из всех возможных списков, включая те, у которых вообще нет никакого экономического смысла. Например, список, согласно которому велосипед стоит 2 пенса, а крыса 999 999 999,95 фунта. Экономисты занимаются тем, чтобы определять принципы, по которым выбираются действительные списки из пространства всех возможных.
Классическим принципом этого выбора является закон спроса и предложения, который гласит: если товар дефицитен, а вы очень-очень хотите его приобрести, то цена на него повышается. Иногда так и происходит, впрочем, нередко случается наоборот. Поиски таких законов напоминает черную магию, а их результаты не вполне убедительны, но это свидетельствует лишь о сложности экономической науки. И, несмотря на неутешительные результаты, образ мыслей всякого экономиста представляет собой точку зрения фазового пространства.
Следующая коротенькая история демонстрирует, насколько экономическая теория далека от реальности. Основой общепринятой экономики является представление о рациональном агенте, обладающем самой точной информацией и максимизирующем полезность. Согласно такому предположению, таксист, например, будет организовывать свою работу так, чтобы заработать максимальную сумму денег, приложив минимальные усилия.
Доход таксиста зависит от нескольких обстоятельств. В лучшие дни, когда у него много пассажиров, он зарабатывает хорошо. В плохие дни – нет. Следовательно, рациональный таксист должен дольше работать в хорошие дни и пораньше заканчивать в плохие. Однако исследование работы нью-йоркских таксистов, проведенной Колином Кэмерером, дало совершенно противоположные результаты. Похоже, таксисты устанавливают для себя дневную норму и прекращают работу, как только достигают нужной отметки. Поэтому они меньше работают в хорошие дни и больше – в плохие. Если бы они работали одинаковое количество часов каждый день, то могли бы увеличить свой доход на 8 %, не увеличивая средней продолжительности рабочего дня. А если бы работали дольше в хорошие дни и меньше в плохие, то их доход вырос бы на 15 %. Но у них не столь хорошо развита интуиция для выбора экономического фазового пространства, чтобы так поступать. Им, как и многим другим людям, свойственно придавать слишком большое значение настоящему и мало заботиться о будущем.
Насыщена фазовыми пространствами и биология. Первым широкое распространение получило ДНК-пространство. Связанное с каждым живым организмом, оно является его геномом, цепочкой химических молекул, называющихся ДНК. Молекула ДНК имеет форму двойной спирали, то есть представляет собой две спирали, закрученные вокруг общего ядра. Каждая спираль состоит из цепочек «оснований», или «нуклеотидов», которые могут быть четырех видов: цитозин, гуанин, аденин, тимин. Как правило, они обозначаются буквами Ц, Г, А и Т, соответственно. Последовательности двух цепочек комплеменарны: если Ц оказывается в одной спирали, то во второй обязательно будет Г, и то же самое с А и Т. То есть ДНК содержит две копии последовательностей, так сказать, одну положительную и одну отрицательную. Говоря абстрактно, геном можно представить последовательностью этих четырех букв типа ААТГГЦЦТЦАГ… которая может быть достаточно длинной. Геном человека, к примеру, содержит порядка трех миллиардов букв.
Фазовое пространство для геномов, или ДНК-пространство, состоит из всех возможных последовательностей заданной длины. Если говорить о человеке, то ДНК-пространство будет включать в себя все возможные последовательности из трех миллиардов букв Ц, Г, А и Т. Насколько оно велико? Выражаясь математическим языком и по аналогии со случаем с машинами на парковке, ответ таков: 4×4×4 × … ×4, с тремя миллиардами четверок. То есть 43000000000. Это число гораздо больше того 70-значного, что мы получили в задаче о парковке. И гораздо больше количества стандартных книг в Б-пространстве. В нем около 1 800 000 000 цифр. Если вы запишете его, помещая на каждой странице по 3000 цифр, вам понадобится тетрадь с 600 000 листами, чтобы все это вместить.
Представление о ДНК-пространстве весьма полезно для генетиков, занимающихся изучением возможных изменений в последовательностях ДНК, таких как «точечные мутации», при которых меняется всего одна буква кода, скажем, в результате ошибки при копировании. Или воздействия высокоэнергетического космического луча. В частности, вирусы мутируют так стремительно, что нет смысла говорить о зараженных особях как о чем-то постоянном. Вместо этого биологи называют их квазивидами и представляют их как группы родственных последовательностей в ДНК-пространстве. Эти группы по прошествии времени перемещаются, но держатся вместе, что позволяет вирусу сохранить свою индивидуальность.
За всю историю человечества жило не более десяти миллиардов людей – всего лишь 11-значное число. Это неимоверно крошечная часть от всех тех возможностей. То есть люди использовали лишь крупинку ДНК-пространства, как и книги использовали лишь крупинку Б-пространства. Разумеется, самые интересные вопросы не столь просты. Большинство буквенных последовательностей не складывается в книгу, начиненную смыслом, а большинство цепочек ДНК не подходят для жизнеспособного организма, не говоря уже о человеке.
Вот мы и подошли к критической точке фазовых пространств. В физике разумно допускать, что имеющее смысл фазовое пространство можно «предопределить», прежде чем задаваться вопросом, насколько оно отвечает системе. В воображаемом фазовом пространстве мы можем представить себе любую расстановку небесных тел в Солнечной системе. У нас нет технической возможности, чтобы это осуществить, но представить такое нам не составляет труда, к тому же у нас нет физических причин, чтобы исключать какую-либо расстановку из нашего рассмотрения.
Когда дело касается ДНК, важнейший вопрос заключается не в этом огромном пространстве всех возможных последовательностей. Почти все они не подходят какому-либо организму, пусть даже мертвому. Что нам действительно нужно рассмотреть, это «жизнеспособное ДНК-пространство», то есть пространство всех цепочек ДНК, которые могут принадлежать жизнеспособным организмам. Это невероятно сложная, но очень маленькая часть ДНК-пространства, и нам не известно, что она из себя представляет. Мы понятия не имеем, как можно рассмотреть гипотетическую последовательность ДНК и определить, подходит ли она для жизнеспособного организма или нет.
Та же проблема возникает в отношении Б-пространства, но здесь одна особенность. Грамотный человек, взглянув на последовательность букв и пробелов, может определить, содержит ли она историю или нет; он знает, как «прочитать» код и понять заключенный в нем смысл, если владеет языком, на котором тот написан. Он даже может попытаться решить, хорошая она или плохая. Однако мы не знаем, как развить эту способность для компьютеров. Правила, которыми руководствуется наш разум, чтобы распознавать истории, заложены в сети нервных клеток в наших мозгах. Никому еще не удавалось эти правила выразить. Мы не знаем, как охарактеризовать параметры читаемых книг в Б-пространстве.