Чтобы выполнить факторизацию, нужно помнить следующее правило. Каждое натуральное число — либо простое, либо может быть выражено как произведение простых чисел (или «простых множителей»). Число, которое может быть разбито на простые множители, называется «составным». 7 — простое, так как делится только на 1 и само на себя. Но 9 — не простое. 9 — составное, потому что имеет простой делитель 3. Число 21 имеет два простых делителя — 3 и 7. Стало быть, факторизация происходит так: берешь число и пытаешься выяснить, на какие простые оно делится. Методом проб и ошибок. И на это и впрямь уходят века.
Впрочем, кое-что мне все же непонятно. Я — ребенок, и хотя я вполне справляюсь с факторизацией, я бы сама это дело мне не доверила, будь я на месте дедушки. Подозреваю, что он проверяет все мои результаты, когда они к нему попадают, но если он так делает, то почему сам не возьмется за факторизацию? Я в легкой растерянности. Допускаю, фишка в том, что проверять результат намного легче, чем самому его получать, но все равно: по-моему, это странновато. Думаю, он не проверял и мои данные по количеству слов и букв в рукописи. Может, все мои калькуляции ошибочны.
Иногда простые множители снятся мне по ночам.
В конце концов Киеран отваливает, и я понимаю, что иду в одиночестве. Ну, не совсем в одиночестве, иду я вместе с группой, но никто не семенит под боком и не треплется. Горло полно битого стекла. Все такое красивое; волнующий ландшафт окружает меня. Но я просто хочу завалиться спать. Когда мы добираемся до места, похожего, по-нашему мнению, на Большого Ястреба, и садимся на влажную травку, чтобы начать медитацию, я пользуюсь возможностью и немного кемарю, прислонясь к большому старому дереву, так что после сеанса Бену приходится меня расталкивать. Когда мы снова трогаемся, ноги мои налиты свинцом и тяжелы настолько, что, кажется, мне и шагу не ступить.
Непонятно, как нам удается, но, используя этот диковинный метод — медитация плюс ориентация по компасу (ни того, ни другого я лично не делаю, но могу дать независимое свидетельство: почти все остальные делают) — мы в конце концов и вправду оказываемся на берегу реки Миви; на часах — самое начало третьего. Видим знак, подтверждающий, что речь шла именно об этой реке, дружно аплодируем и кричим «ура». И, идя вдоль течения, готовые попытаться «увидеть» пресловутого пшеничного зайца, натыкаемся на паб, куда дружно заваливаемся, запыхавшиеся и голодные. Я съедаю пиалу супа и выпиваю «Кровавую Мэри», но моя простуда зашла слишком далеко. Спасения не будет. После трапезы силы совсем меня покидают. В пабе топят камин, отчего воздух жаркий и вязкий, словно сироп. На стенах — всякая жуть вроде набитых опилками оленьих голов и фотографий со сценами охоты. Они истекают кровью в небытие, когда я закрываю глаза, прижимаюсь виском к столу и всему на свете говорю «прощай».
— Я отвезу ее обратно, — слышу я голос Бена. — Ей нехорошо.
Потом — нежные руки, прохладный воздух и автомобильный мотор. Наконец, хруст гравия подтверждает, что мы вернулись домой.
Параллельно с работой над факторизацией я читаю книгу, одолженную мне бабушкой, о Курте Гёделе. Судя по всему, давным-давно дедушка был просто одержим его теориями. И вполне понятно, почему. С тем же суровым анархизмом в душе, к какому склонен дедушка, Гёдель задался целью продемонстрировать, что ни одну математическую теорему нельзя доказать исчерпывающим образом — не потому, что математика противоречива, а потому, что ей никогда не стать полностью безупречной.
В 1900 году немецкий математик Давид Гильберт дал знаменитую лекцию: он огласил двадцать три математические проблемы, которые, по его убеждению, должны стать ключевыми задачами нового столетия. Первой проблемой была «гипотеза континуума» — теория, согласно которой между алефом-нуль и алефом-один нет никакой другой бесконечности; нет промежуточного звена между Канторовыми понятиями счетного множества и несчетного множества («континуума»). Гипотеза Римана была восьмой в списке. Но Гильберт также потребовал, чтобы сами принципы и основания математики — ее аксиомы — были раз и навсегда приведены в порядок. Это была проблема номер два. Общественность тогда уже забеспокоилась: в самом ли деле непротиворечива закрытая система математики? и верны ли ее аксиомы? Если бы она содержала внутренние противоречия, тогда все доказательства всех теорем, известных к тому времени, не стоили бы ровным счетом ничего (это при условии, что хоть кто-то знал, что же такое «ничего»). Что, если, к примеру, гипотеза Римана истинна и в то же время ложна? Если 1 + 1 = 2 и одновременно 1 + 1 = 3? Такое никуда не годится.
Аксиомы — основы основ математики. Аксиомы — это утверждения, которые не могут быть доказаны, однако образуют базис для всех математических доказательств, а те, в свою очередь, являются логическими свидетельствами того факта, что нечто всегда будет обстоять строго определенным образом. Евклид, например, сформулировал доказательство, что простых чисел бесконечно много, а Кантор «сузил» эту бесконечность до алефа-нуль, или א0. Доказательство теоремы Пифагора (а теперь я знаю, что это за штука, потому что она есть в моей книжке: она гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника всегда равен сумме квадратов двух других сторон) основано не на том, что кто-то рассматривает тьму-тьмущую прямоугольных треугольников, измеряет длины сторон и говорит: «Опаньки, кажется, тута все в порядке». Доказательство, элегантное и простое, объяснит, почему так будет всегда, до скончания вечности, для всех прямоугольных треугольников. У теоремы Пифагора много разных доказательств.
Аксиомы — то, на чем строятся доказательства, вроде утверждения «1 + 1 = 2», — иногда называют «самоочевидными»; другие «аксиомы» оказались теоремами и были доказаны. Две точки всегда можно соединить прямой линией. Все прямые углы равны между собой. Все целые составные числа являются произведением меньших простых. Это — аксиомы. Они слегка похожи на отправные точки путешествия. Выходишь из одного пункта, и, следуя указаниям, прибываешь в другой. Однако нужно знать, откуда именно стартуешь, прежде чем сможешь получить или использовать указания. Если получишь правильные указания, но пойдешь не оттуда, откуда надо, в конце концов окажешься в каком-нибудь совершенно неожиданном месте. Доказательство, сформулированное с помощью ложных аксиом, заведет в тупик.
До лекции Гильберта теория множеств одарила математику множеством проблем. А без множеств в непротиворечивой математике не обойтись. Они говорят тебе, чем вещи являются, а чем — нет; какие идеи имеют одни и те же свойства или подчиняются одинаковым правилам (а также с какими различными типами бесконечности ты можешь столкнуться). На них базируются аксиомы. Ты говоришь: «Множество треугольников — это множество трехсторонних двумерных фигур, сумма углов которых равна 180°», и, пока ведешь речь о треугольниках на плоскости, а не на сфере, у тебя все в порядке. Но в 1903 году Бертран Рассел изобрел несколько парадоксов, иллюстрирующих следующую проблему: множество (или класс) не может содержать само себя. Представьте Севильского Цирюльника. Он бреет каждого мужчину, который не бреется сам. Так вот, бреется ли Цирюльник? Если да, тогда нет, а если нет, тогда — да! Точно как в парадоксе «Лжец»! Несмотря на свою очевидную любовь к парадоксам, Расселл далее попытался разрулить такого рода проблемы, со своим учителем Альфредом Нортом Уайтхедом написав «Principia Mathematica», опубликованные в 1910 году. В трех пухлых томах эта работа фиксировала основные аксиомы и правила математики. После этого все в математике было о'кей — по крайней мере, как в старые добрые времена, — и никакие мерзкие парадоксы не мутили воду, пока не явился Курт Гёдель и все опять не испортил, доказав в 1930 году две теоремы, которым суждено было стать известными под общим названием Гёделевской теоремы о неполноте. Его теории объясняли, как можно отыскивать фундаментальные парадоксы в системе математики. Он сделал это, использовав код.